この問題では、三角関数を使って与えられた不等式 sinθ + cosθ ≧ 1/2 を満たす範囲における sinθ - cosθ の範囲を求める方法について解説します。
問題の整理
与えられた不等式は sinθ + cosθ ≧ 1/2 です。この条件を満たす範囲で、sinθ - cosθ の範囲を求めるのが問題です。まず、三角関数の基本的な性質を利用して、この問題を解いていきます。
第一歩：sinθ + cosθ の式の変形
sinθ + cosθ の式を簡単に扱うために、sinθ + cosθ を √2 を使って変形します。具体的には、sinθ + cosθ = √2 sin(θ + π/4) という式に変換することができます。この変形により、sinθ + cosθ ≧ 1/2 の条件を満たす範囲を求めやすくなります。
第二歩：sinθ – cosθ の範囲を求める
次に、sinθ - cosθ を同様に変形します。sinθ - cosθ もまた √2 を使って変形できます。具体的には、sinθ - cosθ = √2 cos(θ - π/4) という形に変換されます。この式を使って、sinθ - cosθ の範囲を求めることができます。
範囲を求めるための計算
ここからは、sinθ + cosθ ≧ 1/2 の条件を満たす範囲において、sinθ - cosθ の範囲を求めます。sin(θ + π/4) の値の範囲を調べ、そこから sinθ - cosθ の範囲を導きます。計算を進めていくと、sinθ - cosθ の範囲はおおよそ [-√2/2, √2/2] となります。
まとめ
この問題を解くためには、三角関数の基本的な変形を使用しました。最終的に、sinθ + cosθ ≧ 1/2 の条件を満たす範囲における sinθ - cosθ の範囲は [-√2/2, √2/2] であることが分かりました。これにより、問題を解決することができました。
コメント