円の方程式と中心の求め方：x軸とy軸に接し、直線上に中心を持つ円

この問題は、特定の条件を満たす円の方程式を求める問題です。特に、円の中心が直線上にあり、またx軸とy軸にも接するという条件を考慮していきます。まずは問題の条件を整理し、その上で円の中心の座標と方程式を求めます。

1. 問題の条件を整理する

問題文にある通り、円の中心はx軸とy軸の両方に接し、さらに直線x + 2y – 3 = 0 上にあります。このため、円の半径はx軸またはy軸からの距離と等しいことがわかります。また、中心の位置は直線x + 2y – 3 = 0 上にある必要があります。

2. 円の中心の座標を求める

円の中心が直線x + 2y – 3 = 0 上にあるという条件を満たすため、直線の方程式に代入できる中心の座標を求めます。円がx軸とy軸に接するため、中心の座標は(±r, ±r)である必要があります。ここでrは円の半径です。次に、この座標が直線x + 2y – 3 = 0 を満たすことを確認します。

3. 具体的な計算

中心の座標を(±r, ±r)と置きます。直線の方程式にこれを代入して計算すると、rの値が決定できます。この計算により、円の中心がどの位置にあるのか、またその半径が求められます。

4. 解答の解説と確認

計算結果として、円の中心の座標は(±r, ±r)であり、rの値を求めることで最終的な円の方程式が求められます。自分が間違っていると思った( -k, k)という座標は、この条件を満たさないことがわかります。

5. まとめ

この問題では、円の中心が直線上にあり、かつx軸とy軸に接する条件を満たす円の方程式を求めました。最終的に、円の中心の座標は(±r, ±r)であることが確認できました。正しい計算方法により円の方程式を導き出すことができました。