三角比の問題では、特に三角関数の角度に関する性質を理解することが重要です。この問題では、sinθの値が与えられており、cos(180° – θ)の値を求める問題です。回答としては、cos(180° – θ) = -cosθという関係を使いますが、この時なぜ答えが正の値になるのかが疑問となっています。ここでは、詳しくその理由を解説します。
cos(180° – θ) = -cosθ とは？
三角関数の性質の中で、cos(180° – θ) = -cos(θ)という公式があります。この公式は、三角関数の加法定理に基づくもので、特に三角関数の周期性と対称性に関連しています。具体的には、角度θを180°引いた角度のcosは、元のcosの符号を反転させたものになる、という性質です。
なぜ答えが正になるのか
問題で与えられた条件は、sinθ = √5 / 3 で、90° < θ < 180° という範囲にあります。この範囲では、θは第二象限に位置しています。第二象限では、cosθが負の値をとるため、-cosθは正の値になります。
これを具体的に見てみましょう。sinθ = √5 / 3 から、cosθの値を求めるためにはピタゴラスの定理を使います。sin²θ + cos²θ = 1 の式を使って、cos²θを求めると、cosθの値は負の値（-2/3）となります。したがって、-cosθは正の値（2/3）となり、cos(180° – θ)の値も正の値になります。
まとめ：cos(180° – θ) = -cos(θ) の理解
三角関数の問題でcos(180° – θ) = -cos(θ)という公式を使う場合、角度がどの象限にあるかをしっかりと把握することが重要です。今回の問題では、θが第二象限にあるため、-cosθが正の値になることがわかります。したがって、答えは正の2/3となります。
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