平方完成と軸の方程式：ay² + by + c = 0 の式を図示する方法

高校数学における平方完成を使って、二次方程式 ay² + by + c = 0 を軸の方程式に変換し、その図示方法について解説します。平方完成によって得られる軸の方程式は、どのように図として表現されるのでしょうか？この記事では、その詳細な手順と理解のポイントを説明します。

平方完成とは

平方完成は、二次方程式を変形して、平方の形にする方法です。具体的には、一般的な二次方程式 ay² + by + c = 0 に対して、y の二次項と一次項を組み合わせて平方を作ります。この過程で、新たに得られる式が軸の方程式として利用できます。

例えば、式 ay² + by + c = 0 を平方完成すると、(y + p)² = q の形に変形できます。これによって、y の値がどの範囲で変動するのか、またその軸がどの位置にあるのかが明確に分かります。

まず、与えられた式 ay² + by + c = 0 を y² の係数が 1 になるように調整します。次に、y² + (b/a)y を平方完成して新たな形に変換します。この時、定数項を適切に加えたり減らしたりして、式を完全な平方にします。

例えば、a ≠ 1 の場合、まず y² の係数を 1 にするために a で割ります。その後、平方完成を行い、最終的に y の軸の方程式を得ることができます。

平方完成後、得られる式は (y + p)² = q の形になります。この式は、y 軸を中心に対称な放物線を描く形になります。y の値が増減することで、グラフ上の位置が決まり、放物線の軸がどの位置にあるかが明確にわかります。

また、平方完成によって得られる軸の方程式は、グラフ上で放物線の対称軸を示します。つまり、y 軸がこの方程式を基にして、グラフを左右対称に分けることができます。

ay² + by + c = 0 の式を平方完成し、軸の方程式を求めることによって、放物線の軸の位置が明確になります。平方完成を理解することで、数学的な図示や解析がより簡単に行えるようになります。数学の基礎を学び、実際にグラフを描く際に役立ててください。