恒等式とは？移行や2文字以上を含む等式の成り立ちについての解説

数学における「恒等式」の意味について、また、等式が成立する条件や移行によって恒等式が変わるのかについて解説します。

1. 恒等式とは？

恒等式とは、変数に関係なく常に成り立つ等式のことです。つまり、xやyなどの変数に特定の値を代入しても等式が成立する場合、その式は恒等式となります。例えば、(x + 1)² = x² + 2x + 1 のような式は恒等式です。どんなxの値を代入しても成り立つためです。

恒等式を移行する際、例えば式の両辺に同じ数を足したり引いたりすると、式は依然として成り立ちますが、式そのものが恒等式でなくなる場合があります。恒等式が常に成り立つためには、その式が成立するために必要な条件を満たし続けることが必要です。

等式に複数の文字が含まれている場合、その等式が成立するかどうかは、代入する値によって異なります。例えば、2x + 3 = 7 のような式の場合、xに特定の値を代入しないと等式は成り立ちません。しかし、(x + 1)² = x² + 2x + 1 のように全ての値で成り立つ場合は恒等式です。

5 + 3 = 8 は恒等式ではありません。これは単に計算結果が正しいだけで、xのような変数が含まれていないため恒等式とは言えません。恒等式は変数を含み、その変数に値を代入しても常に成立する式に対して使います。

恒等式はすべての値で成り立つ式であり、移行を行ってもその条件が変わらない限り恒等式として成立します。等式に複数の文字が含まれる場合、条件を満たす値を代入する必要があり、5 + 3 = 8 のような式は恒等式とは言えません。