自作問題の解法：与えられた三角方程式の解の個数を求める

今回の問題は、与えられた三角方程式において、0≦θ≦π/2の範囲で解の個数を求めるという問題です。この問題では、aという実数の定数が含まれています。具体的な方程式は、√3sin4θ – cos4θ + (3+a)√3 sin2θ + (3+a)cos2θ – a² + 2a + 5 = 0 です。

方程式の整理

まずは方程式を整理していきます。与えられた方程式は以下のようになります。

√3sin4θ – cos4θ + (3+a)√3 sin2θ + (3+a)cos2θ – a² + 2a + 5 = 0

これを解くために、三角関数の加法定理や基本的な三角恒等式を使用して式を簡単化します。この段階で、sin2θやcos2θを展開し、最終的な形に落とし込む必要があります。

次に、三角関数の性質を利用して、sin2θやcos2θを展開します。特に、sin2θやcos2θを用いた計算は重要です。例えば、sin4θやcos4θの式はそれぞれ以下のように展開できます。

これを使って、与えられた式を整理し、aに依存した部分を解いていきます。

方程式が整理されたら、次に解の個数を求めるために、aの値に依存する式に注目します。0≦θ≦π/2の範囲内で解を求めるため、θの範囲内での挙動を解析します。特に、解が実数であるかどうか、また解の個数がいくつになるかを評価することが重要です。

また、aの値によって解の個数がどのように変化するのかを考察します。aの値によって方程式の解が変わるため、aの範囲を適切に設定し、その範囲で解を求めます。

この問題では、三角関数の基本的な性質と定理を駆使して、与えられた方程式を整理し、aの値に基づいて解の個数を求めます。解法の過程を通じて、方程式の変形と解析の重要性を学ぶことができます。

このように、解の個数を求める問題では、三角関数の恒等式や代数的な操作を適切に使うことが重要です。各ステップを丁寧に進め、最終的な解を求めることが解決への近道です。