数珠順列における答えの+3の理由とその計算方法

今回は「赤玉4個、白玉2個、青玉1個を使って首飾りを作る場合の数」について考えます。この問題は、同じものを含む数珠順列の問題であり、計算方法の途中で出てくる「+3」の理由について解説します。

1. 問題の概要

問題は、6つの玉を使って数珠状に並べる場合の数を求めるというものです。具体的には、赤玉4個、白玉2個、青玉1個を使って、首飾りのような数珠を作る場合の並べ方を求めています。

まず、円順列を使って考える場合、青玉を固定して、残りの玉を並べる方法を計算します。この時、玉が同じ色を含むため、重複を考慮して計算します。

青玉を固定すると、残りの5つの位置に赤玉と白玉を並べることになります。この並べ方は、6！/4！2！で計算され、結果として15通りとなります。

次に、「左右対称になる場合」を考慮します。青玉を固定した後、残りの赤玉と白玉を並べる方法で、左右対称な並べ方が存在します。これを数えると、3通りになります。ここでの3通りは、左右対称になるパターンを示しています。

その後、左右対称の並べ方を除外した15通りから3通りを引き、12通りとなります。しかし、数珠順列であるため、回転対称性を考慮する必要があります。したがって、さらに2で割ることで最終的な通り数を求めます。

ここでの「+3」は、回転対称性を考慮して最終的な並べ方を修正するために足されるものです。このようにして、最終的に9通りとなるのです。

数珠順列の問題では、対称性を考慮した上で回転対称性や左右対称性を扱う必要があります。最初の計算では重複を考慮して通り数を求め、その後で対称性を加味した修正を行うことで最終的な答えを得ることができます。今回の「+3」は、回転対称性を調整するための重要なステップとなっています。