確率論：数学IIの三角関数の問題について解説 - 操作の結果の確率を求める方法

この問題では、さいころを振ることで正方形の板の色が変わる操作の結果が、特定の色の並び方になる確率を求める問題です。特に、(2)の部分では重複組合せで解けない理由についても考えます。今回は、確率論的アプローチを使って解説します。

問題の設定

まず、3 枚の正方形の板があり、それぞれの表面が白色、裏面が黒色で塗られています。この状態で、さいころを振って特定の板を裏返す操作を繰り返すことで、色の並び方を変化させます。

特定の操作により、最終的な色の並び方が「黒白白」または「白黒白」または「白白黒」になる確率を求める問題です。

まず、さいころを振るときの各目に対応する板の裏返し操作を整理します。1～2 の目が出た場合は左端の板を裏返し、3～4 の目が出た場合は中央の板を裏返し、5～6 の目が出た場合は右端の板を裏返すというルールです。

次に、操作を行うたびに板の色が変化するので、その後の色の並び方を計算するためには、それぞれの操作が確率的にどのように影響するかを考える必要があります。

重複組合せは、通常、順序に関係なく同じ要素が何回も出現する場合に用いられる方法ですが、この問題では順序を重要視します。色の並び方が変化する場合には、同じ板が何回裏返されても、順番に依存するため、重複組合せのアプローチは適用できません。

実際に色の並び方が「黒白白」や「白黒白」などになる確率を求めるには、順番に依存した確率の計算が必要となります。

例えば、操作が1回目で左端の板、2回目で中央の板、3回目で右端の板を裏返す場合を考えます。この場合、さいころの出る目がどのように変化するかを順番に考えていき、最終的な確率を求めます。

具体的には、3回の操作で色の並びが「黒白白」になる確率は、各操作でさいころの目がどう出るかの確率を掛け算して求めることができます。

この問題は確率の基本的な計算を使って解くことができ、重複組合せでは解けない理由は、順序に依存するためです。問題を順序ごとに計算することで、求められる確率を明確に導き出すことができます。特定の操作によって板の色がどのように変化するかを理解し、それぞれの操作に対応する確率を計算することが重要です。