2次方程式 x^2 - (a+4)x - (a/2) + 10 = 0 の解法と範囲の求め方

この問題では、与えられた2次方程式 x² – (a+4)x – (a/2) + 10 = 0 が1≦x≦4の範囲で少なくとも1つの実数解を持つための定数aの値の範囲を求める方法を解説します。

1. 方程式の整理

まず、与えられた2次方程式 x² – (a+4)x – (a/2) + 10 = 0 を整理します。ここで、xに関する項を整理して、標準的な形で書き直しましょう。

式は次のように整理されます。

x² - (a+4)x + (10 - a/2) = 0

2次方程式 ax² + bx + c = 0 の解の有無を調べるには、判別式 D = b² – 4ac を使います。解が実数であるためには、判別式 D が0以上である必要があります。

今回は、解の範囲が 1 ≦ x ≦ 4 で少なくとも1つの実数解があるため、判別式 D ≥ 0 となる条件を求めます。

1≦x≦4 の範囲で少なくとも1つの実数解が存在するためには、x=1またはx=4で方程式の解が成り立つことが必要です。したがって、1≦x≦4 の範囲に解が存在するための条件を、x=1とx=4を代入して求めます。

これにより、aの値の範囲が求められます。

計算の結果、定数aが満たすべき条件は、2 ≦ a ≦ 14/3 という範囲であることがわかります。

また、問題で与えられた範囲が1 < x < 4 の場合は、a の値の範囲が 2 ≦ a < 14/3 となることも確認できます。

この問題では、2次方程式の解法を通じて、a の範囲を求めました。1≦x≦4の範囲で解が存在するための条件として、a の範囲は 2 ≦ a ≦ 14/3 であり、1 < x < 4 の場合は a の範囲は 2 ≦ a < 14/3 となります。