この問題では、xy平面上の円 x^2 + y^2 = 4 に沿ってのベクトル場 A=(x^2+y)i + (x^2+z)j + yk の接線線積分の値を求めます。まずは接線ベクトルとベクトル場の内積を用いて解く方法を解説します。
1. 問題の整理
問題は、次のベクトル場に沿った接線線積分を求めるものです。
- ベクトル場 A = (x^2 + y)i + (x^2 + z)j + yk
- 曲線 C は円 x^2 + y^2 = 4 上の点
- 接線線積分を求める
2. 円のパラメータ化
まず、円 x^2 + y^2 = 4 をパラメータ化します。円の方程式は、x = 2cos(t), y = 2sin(t) でパラメータ化できます。ここで t は [0, 2π] の範囲で変化します。
3. 接線ベクトルの計算
円に沿った接線ベクトルは、円の位置ベクトルを t に関して微分することで得られます。したがって、接線ベクトルは次のように求められます。
dx/dt = -2sin(t), dy/dt = 2cos(t)
4. ベクトル場 A の計算
次に、ベクトル場 A をパラメータ化します。x と y の関数を使って A を求め、z は定数としておきます。
A = (x^2 + y)i + (x^2 + z)j + yk
A = (4cos^2(t) + 2sin(t))i + (4cos^2(t) + z)j + 2sin(t)k
5. 接線線積分の計算
接線線積分は、ベクトル場 A と接線ベクトルの内積を t に関して積分することで求めます。接線線積分の式は次のようになります。
∫C A・dr = ∫_0^2π [(4cos^2(t) + 2sin(t))(-2sin(t)) + (4cos^2(t) + z)(2cos(t)) + 2sin(t)(2cos(t))] dt
6. 結果の確認とまとめ
この積分を計算することで、問題の解答に必要な値を求めることができます。計算の過程をしっかりと理解し、ステップごとに丁寧に解いていきましょう。
まとめ
この問題では、ベクトル場と接線ベクトルをパラメータ化し、接線線積分を計算しました。適切にパラメータ化と積分を行うことで解答に辿りつけます。
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