自然数と等比数列：帰納法と倫理の関係を解説

この問題では、自然数nに対して等比数列が成り立つ理由と、その証明方法についての疑問が提示されています。具体的には、n=1.2で等比数列が成り立つことがわかっている場合に、どうして他のnにも当てはまるのか、その証明に帰納法が必要ではないのかという点に焦点を当てています。

1. 等比数列の基本的な概念

まず、等比数列とは各項が前の項に一定の比率を掛けることで得られる数列です。例えば、1, 2, 4, 8, 16などが典型的な等比数列です。等比数列の一般項は、a_n = a₁ × r^n-1 の形で表されます。ここで、rは公比です。

2. 問題文の疑問：n=1.2の事例

質問者は、n=1.2の場合で等比数列が成り立つことがわかったが、それが他のnでも成り立つのか疑問に思っています。この場合、n=1.2が特別な場合として扱われているわけではなく、通常の等比数列の構造に基づいています。したがって、n=1.2の場合に成り立ったことが、他のnでも成り立つ根拠にはなりません。

3. 帰納法の適用

ここで登場する帰納法は、まずn=1のときに成り立つことを示し、次にn=kの場合に成り立つと仮定した上で、n=k+1の場合にも成り立つことを証明する方法です。このようにして、すべての自然数nに対して等比数列が成り立つことを証明します。

帰納法を使うことで、特定の値（例えばn=1.2）で成り立つことを確かめただけではなく、すべての自然数に対して成り立つという結論を導くことができます。

4. 結論と問題解決

質問者の疑問は、n=1.2で成り立つことがわかっているだけでは、他のnに対しても同様に成り立つとは言えない、という点です。これを解決するために、帰納法を適用して、nが任意の自然数である場合にも等比数列が成り立つことを証明する必要があります。したがって、帰納法が必要な理由はここにあります。

5. まとめ

この問題は、数学的な証明方法である帰納法の重要性を理解する良い例です。帰納法を使うことで、特定のケースだけでなく、一般的な場合にも成り立つことを証明することができるという点を押さえておきましょう。