x > 0 のとき、log(x) と (x−1)、どちらが大きいか？

「x > 0 のとき、log(x) と (x−1)、どちらが大きいか？」という質問は、数学的に非常に興味深い問題です。ここでは、x が0より大きいときの log(x) と (x−1) の関係を詳細に解説します。

1. log(x) と (x−1) の関係

まず、log(x) は x の対数関数です。対数関数は、x が1より大きいときに増加しますが、x が1に近づくと緩やかに増加します。一方、(x−1) は単純な一次関数であり、x が1より大きいと線形に増加します。

x が1のとき、log(1) = 0 であり、(1−1) = 0 です。したがって、x = 1 のときは log(x) と (x−1) は等しい値となります。

x が1より大きい場合、log(x) は徐々に増加しますが、(x−1) はそれよりも急速に増加します。実際に計算してみると、例えば x = 2 の場合、log(2) ≈ 0.3010 であり、(2−1) = 1 となり、(x−1) の方が大きいことがわかります。

x > 0 の範囲で、x が1より大きいとき、(x−1) の方が log(x) よりも常に大きくなります。したがって、x > 1 の場合は、(x−1) の方が log(x) よりも優位であると言えます。