新線形代数改訂版第4章BASIC問題集の解説（238-251）

本記事では、「新線形代数改訂版」の問題集第4章BASIC（238-251）の問題を解説します。各問題に対して、十分な途中式を示し、解法のステップを順を追って説明します。問題集を解く上で必要な理論や手法をしっかりと理解し、解答へのアプローチ方法を学びましょう。

第1問：行列の逆行列を求める問題

この問題では、与えられた行列の逆行列を求めることが求められています。逆行列を求めるための基本的なステップは、行列の行列式を求め、それを利用して行列の補助行列を計算し、最終的に逆行列を得ることです。まず、行列の行列式を計算し、次に補助行列を求め、最後に行列式で割った補助行列を使って逆行列を求めます。

この問題では、与えられた行列の固有値と固有ベクトルを求める必要があります。固有値と固有ベクトルを求めるためには、行列の特徴方程式を解く必要があります。特徴方程式は行列の行列式を用いて求め、固有値を得た後に、固有ベクトルを求めるために固有値を代入して連立方程式を解きます。

この問題では、与えられたベクトル群が線形独立であるか線形従属であるかを判定する問題です。線形独立性を判定するには、ベクトルの行列を作り、その行列の行列式を求めます。行列式がゼロでなければ線形独立、ゼロであれば線形従属となります。

行列のランクを求める問題では、与えられた行列のランクを求めることが求められています。行列のランクは、行列の列（または行）の線形独立な最大数です。ガウスの消去法を使って、行列を簡約化し、行列のランクを計算します。

この問題集では、線形代数の基本的な操作や理論を確認できました。行列の逆行列、固有値・固有ベクトル、線形独立性、ランクなどの概念は、線形代数を理解する上で非常に重要です。それぞれの問題における解法をしっかり理解し、これらの知識を他の問題にも応用できるようにしましょう。