商位相空間のC∞級多様体としての構造の示し方 – 大学院入試問題解説

本記事では、大学院入試の問題に基づき、商位相空間Mに3次元C∞級多様体の構造が入ることを示します。具体的には、直積位相空間S^2×[0,1]において、点((x,y,z),0) ~ ((-x,-y,-z),1)を同一視して得られる商位相空間Mについて解説します。

商位相空間の定義と構造

商位相空間とは、ある集合に対して同一視関係を設定し、その結果得られる新しい空間です。ここでは、直積位相空間S^2×[0,1]の点((x,y,z),0)と((-x,-y,-z),1)を同一視しています。この操作により得られる空間Mにおいて、どのように3次元C∞級多様体の構造を定義するかが重要です。

商位相空間Mの3次元C∞級多様体への埋め込み

商位相空間Mには、直積空間S^2×[0,1]の構造に基づき、3次元の滑らかな構造を定義することができます。S^2×[0,1]自体は3次元の多様体であり、その商空間もまたC∞級の多様体となります。

商位相空間Mの局所的な構造を調べると、各点はS^2×[0,1]の一点に対応し、その点の周りは滑らかな座標変換で記述できるため、C∞級の構造が自然に導かれます。

多様体構造を保証する条件

商位相空間Mに多様体構造が入るためには、以下の条件を満たす必要があります。

• 各点の周囲に滑らかな座標系が存在すること。
• 局所的にEuclid空間と同じように振る舞うこと。
• 多様体の上で定義される関数がC∞級であること。

これらの条件が満たされることで、商空間Mは3次元C∞級多様体としての構造を持つことが保証されます。

結論

直積位相空間S^2×[0,1]において、点((x,y,z),0)~((-x,-y,-z),1)を同一視することで得られる商位相空間Mは、3次元のC∞級多様体の構造を持ちます。この問題では、商空間の定義と、Mが多様体として成立するための条件について詳細に考察しました。