2次関数の最小値を求める問題で、標準形から場合分けを行う方法について解説します。特に、f(x) = -x² – 2x + 3という関数における最小値を求める際、なぜ-3/2で場合分けをするのか、標準形に基づいた場合分けのポイントを詳細に説明します。
2次関数の標準形と最小値の求め方
まず、与えられた2次関数f(x) = -x² – 2x + 3を標準形に変換するところから始めます。2次関数を標準形に変換することで、頂点の座標がわかり、最大値または最小値を簡単に求めることができます。
f(x) = -x² – 2x + 3は、完了平方を使って標準形に変換できます。まず、-1を因数に出してx² + 2xをまとめ、次に平方完成を行うと、f(x) = -(x + 1)² + 4という標準形に変換されます。この式から、関数の頂点が(-1, 4)であり、この点が最大値をとることがわかります。
場合分けの理由 – t < -3/2, t = -3/2, -3/2 < t
質問にあるように、2次関数の最小値を求めるために、t < -3/2, t = -3/2, -3/2 < tという場合分けを行う理由を解説します。この場合分けは、関数の定義域によって最小値を求める際に必要になります。
まず、-x² – 2x + 3の関数は下に凸の放物線であり、最大値は頂点である(-1, 4)でとります。しかし、最小値はt≦x≦t+1の区間内で、関数の値がどこで最小になるかを求める必要があります。
tが-3/2より小さい場合、tとt+1の範囲において関数の値は増加していき、tが-3/2である場合は、関数の最小値を求めるために特別な対応が必要となります。したがって、-3/2を基準にして場合分けを行うことが適切です。
最小値m(t)の計算方法
次に、具体的に最小値m(t)を求める方法について解説します。t≦x≦t+1の範囲内で最小値を求める場合、まず関数f(x) = -(x + 1)² + 4を用いて、xの範囲に対する最小値を求めます。
この場合、t < -3/2のとき、最小値はt = -3/2で起こり、t = -3/2の時は、頂点を含む範囲での最小値を計算する必要があります。t > -3/2の場合も同様に、最小値を計算する方法は同じです。
まとめ
2次関数の最小値を求める際には、標準形に変換することが基本的な手順です。そして、最小値を求めるために場合分けを行うのは、関数の頂点や定義域の範囲によって異なる挙動を示すからです。特に、t = -3/2で場合分けをするのは、関数がその点を境に変化するからです。このように、場合分けを正しく行い、最小値m(t)を求めることができます。
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