四面体の角度と対称性に関する問題の解法

この問題は四面体の対称性とベクトルの内積を用いた計算を行う数学的な問題です。以下に、その解法のステップを説明します。問題は、四面体OABCにおける角度θを求める問題であり、対称性を利用することが鍵となります。

1. 問題の設定と対称性

問題では、四面体OABCが与えられ、各辺OA、OB、OCの長さが1、また∠AOB = ∠BOC = ∠COB = θという条件があります。AとBの対称性を利用して、点A’とB’を求める方法が求められています。

まず、問題で述べられたように、四面体OABCと四面体OA’BCは合同です。したがって、∠A’OB = ∠AOB = θおよびOA’ = OA = 1です。同様に、∠B’OA = ∠BOA = θ、OB’ = OB = 1となり、∠A’OB’ = π/2となります。

問題を解くために、Oを原点として座標系を設定します。点A’を(1,0,0)、点B’を(0,1,0)とし、A(a,b,c)、B(b,a,c)と座標を設定します。この設定に基づき、ベクトルの内積を計算し、cosθを求めることができます。

ベクトルOA’とベクトルOB、ベクトルOB’とベクトルOA’の内積を計算することで、cosθの値を求めることができます。計算を進めていくことで、最終的にcosθ = (1 + 2√7) / 9 という値が得られることが確認できます。

この問題は、四面体の対称性とベクトルの内積を上手に利用することが求められる問題でした。与えられた条件を正しく設定し、対称性を利用することで解法に導くことができました。数学的な思考を深め、内積や座標設定の重要性を理解する良い例となります。