三角関数の不等式を解く際、色々な方法が考えられます。この記事では、0≦θ≦2π の範囲で sin2θ < sinθ の不等式を解く方法について解説します。さらに、sin2θ を 1-2sin²θ の形に変形して解く方法についての疑問にもお答えします。
sin2θ < sinθ の不等式を解く基本的な方法
まず、sin2θ < sinθ の不等式を解く基本的な方法から始めましょう。この不等式は、角度θが0から2πの範囲においてどのように成り立つかを調べるものです。まずは、sin2θ を 2sinθcosθ の形に変形する方法で解くのが一般的です。
sin2θ = 2sinθcosθ という形に変形した後、sinθ を使って不等式を解くことで解答に至ります。この方法で、解の範囲を直感的に理解することができます。
sin2θ を 1-2sin²θ の形にして解く方法
質問の中で挙げられているように、sin2θ を 1 – 2sin²θ の形に変形する方法について説明します。この方法を使って解いた場合、正しい解を導けるかどうかが疑問となることがあります。
まず、sin2θ = 1 – 2sin²θ という式を導出するには、三角関数の倍角の公式を使う必要があります。確かに、sin2θ = 2sinθcosθ の式と、1 – 2sin²θ の式は異なる形ですが、どちらも正しい式です。ただし、式の使い方には注意が必要です。
不等式 sin2θ < sinθ の具体的な解法
実際に sin2θ < sinθ を解く場合、まず不等式を次のように変形します。
sin2θ – sinθ < 0 となります。ここで、sin2θ = 2sinθcosθ という式を使うと、式が簡単に解けることがわかります。
また、1 – 2sin²θ の形に変形しても、解の範囲が変わるわけではなく、最終的に同じ解が得られます。重要なのは、式の形を変更する際にどのような意味があるのかを理解することです。
実際の解答例とその解説
例えば、θ = π/6 の場合、sin(2θ) は 1/2 であり、sin(θ) は 1/2 です。この場合、不等式 sin2θ < sinθ は成り立たないことがわかります。
また、θ = π/3 の場合、sin(2θ) は √3/2 であり、sin(θ) は √3/2 となります。このように、θ の値によって不等式が成立するかどうかを確認できます。
まとめ
sin2θ < sinθ の不等式を解く方法は、一般的に sin2θ を 2sinθcosθ の形に変形して解くのが有効です。1 - 2sin²θ の形に変形して解く方法でも正しい解を得ることができますが、その際にはどの式を使うべきかを理解しておくことが重要です。
このように、三角関数の不等式を解く際は、複数の方法を理解し、適切な方法を選んで解くことが求められます。
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