微分積分の問題:関数f(x) = e^xの原点におけるテイラー展開をヨハン・ベルヌーイの部分積分を用いて求める方法

大学数学

この問題では、関数f(x) = e^xの原点x = 0におけるテイラー展開を求める方法について、特にヨハン・ベルヌーイによる部分積分を用いたアプローチに焦点を当てます。テイラーの定理に基づく展開方法を理解し、必要な式を求めるためのステップを解説します。

テイラー展開とは

テイラー展開は、ある関数をその点の近くで多項式で近似する方法です。具体的には、関数f(x)が点aで微分可能であれば、その関数は次のようにテイラー級数展開することができます。

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f”(a)(x-a)^2 / 2! + … + f^(n)(a)(x-a)^n / n!

f(x) = e^xのテイラー展開

まず、関数f(x) = e^xのテイラー展開を求めるためには、f(x)の各階の微分を計算する必要があります。e^xの特徴は、任意の階数の微分を取っても、結果が常にe^xであるという点です。したがって、f^(n)(x) = e^xが成り立ちます。

これをx = 0におけるテイラー展開に適用すると、次のようになります。

f(x) ≈ e^0 + (e^0)(x-0) + (e^0)(x-0)^2 / 2! + … = 1 + x + x^2 / 2! + x^3 / 3! + …

ヨハン・ベルヌーイの部分積分法の使用

ヨハン・ベルヌーイによる部分積分法を用いることで、積分を簡単にすることができます。部分積分は次の式で表されます。

∫u dv = uv – ∫v du

この方法を用いて、積分式を再配置し、テイラー展開における項を計算していくことができます。この手法は、特に複雑な積分を扱う際に便利です。

問題の解法:テイラー展開の求め方

今回の問題では、f(x) = e^xをx = 0でテイラー展開し、各項を求めることが求められています。最終的に求めたいのは、関数f(x) = e^xのn次までのテイラー展開です。具体的な解法としては、上記の式を基に、必要な微分を計算し、各項を求める作業を繰り返します。

この方法を利用することで、f(x) = e^xの近似式が得られ、n次までの展開が求まります。

まとめ

関数f(x) = e^xのテイラー展開は、ヨハン・ベルヌーイの部分積分を活用することで、より効率的に求めることができます。テイラー展開の理解を深めることは、微分積分学の基本的な概念を学ぶ上で非常に有益です。実際の問題においても、この手法を適用することで多くの複雑な関数を簡単に近似することが可能となります。

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