高校の数学でよく出題される順列の問題に「7人を2つの部屋に空室を作らずに入れる方法」について考えてみましょう。最初のアプローチとして、「7P2×2^5」を考える方が多いかもしれませんが、このやり方では答えが合わないことがあります。この記事では、この問題を正しく解くための方法と、よくある間違いについて解説します。
問題の理解と誤ったアプローチ
「7人を2つの部屋に空室を作らずに入れる」とき、最初に考えた方法は、まず7人から2人を選び、部屋aと部屋bにそれぞれ割り当て、その後残りの5人にはどちらかの部屋に入る2択を与えるというものです。このアプローチでは、計算式「7P2×2^5」を使うことになりますが、これでは空室ができる可能性を考慮していません。
この方法では、2つの部屋に入れる人数が固定されているため、空室の発生を避けることができません。
空室を避ける方法
問題のポイントは、「空室を作らずに入れる」という条件です。このためには、空室が発生しないように工夫する必要があります。まず、2部屋に必ず人が入ることを考慮しなければなりません。
空室ができてしまう場合を避けるために、まず「全員を2部屋に入れる場合の組み合わせ(2^7通り)」から、空室ができる場合(部屋aもしくは部屋bが空である場合、2通り)を引き算する方法を用います。
空室ができない場合の計算
この方法では、まず7人を部屋aまたは部屋bに割り当てる場合の全ての組み合わせは、2の7乗通り、すなわち128通りです。その後、空室ができる場合を引きます。空室ができる場合は、部屋aか部屋bのいずれかが空になる場合なので、2通り(部屋aが空、または部屋bが空)を引きます。
したがって、空室ができない場合の組み合わせは、128通り – 2通り = 126通りとなります。
正しい答えを導くためのアプローチ
このように、空室を作らずに7人を2つの部屋に分ける方法は、最初に考えた「7P2×2^5」ではなく、「2^7 – 2」の計算式で正確に求めることができます。これにより、問題の条件を満たす解が得られます。
まとめ
「7人を2つの部屋に入れる」という順列の問題では、空室を作らないように配慮しなければなりません。誤った計算方法で答えを導き出すのを避けるためには、空室が発生する場合を引く方法を使い、正しい解を求めることが重要です。この問題は、順列を使う際に空室が作られない条件をどう扱うかがポイントとなります。
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