群Gの集合Xへの右からの作用において、自由な作用や向きつけの問題は多様体の研究において重要な役割を果たします。特に、有限群GのC^r級多様体Mへの自由な作用とその射影についての証明や、M/Gの向きつけ可能性に関する証明は、数学的に深い議論を必要とします。この記事では、(ⅰ)と(ⅱ)の証明を解説し、どのようにしてその結論に至るのかを説明します。
自由な作用と射影のC^rはめ込みについて
自由なC^r級作用の定義を理解することから始めましょう。群Gの作用が自由であるとは、任意のx∈Xに対して、部分群Gx = {g∈G; xg=x}が単位元eのみからなる自明な群であることを意味します。つまり、任意の点がGの作用に対して異なる結果を生じることを示します。
次に、有限群GがC^r級多様体Mに自由に作用する場合、射影π:M→M/GがC^r級であることを示す必要があります。この証明では、射影マッピングがC^r級であり、かつその射影がM/GのC^r構造を一意に定めることを示します。ここでは、自由な作用により、M/G上の構造が滑らかに定まることが重要です。
証明のアプローチ：自由な作用とC^r構造の関係
自由な作用の下では、M/GはM上のGの軌道の商空間です。MからM/Gへの射影は、自由な作用によって一意に定まり、その結果としてM/GはC^r級の多様体となります。このことを証明するためには、軌道の連続性とその構造を利用します。
ここで重要なのは、自由な作用がM/Gに対して滑らかな構造を与える点です。具体的には、軌道の間に重なりがなく、M/G上のC^r構造が一意に決定されるため、射影πがC^r級のはめ込みになることが示されます。
向きつけ可能性：M/Gの向きつけ可能性の証明
(ⅰ)の証明を踏まえて、(ⅱ)ではさらにMが向きつけ可能であり、すべてのg∈GがM→Mを向きを保つことを仮定しています。この条件下で、M/Gが向きつけ可能であることを証明することが求められます。
向きつけ可能であるとは、空間に一貫した向き（方向）を定めることができることを意味します。自由な群作用が成立する場合、向きつけを保つ性質も伝播します。具体的には、M上の向きがGの作用を受けても変化しないことが保証されるため、商空間M/Gも向きつけ可能であることが示されます。
証明の要点：向きつけと群作用の関係
向きつけを保つためには、群Gの各要素がM上の向きに対して一貫して作用する必要があります。この条件を満たすためには、群作用が逆向きでないこと、すなわち群の各要素が向きに影響を与えないことが重要です。これにより、Mの向きがそのまま商空間M/Gにも伝播し、M/Gは向きつけ可能な多様体として構成されます。
まとめ：自由な作用と向きつけ可能性の証明
この問題においては、自由なC^r級作用が商空間に対して一意にC^r構造を与え、さらにMが向きつけ可能であれば、M/Gも向きつけ可能であることが示されました。自由な作用の性質と群の作用が向きつけに与える影響について深く理解することができました。これらの証明は、群作用や多様体の構造を理解するための重要なステップです。
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