この問題では、正実数a, b, c, x, y, zが与えられた条件を満たす時に、a=x, b=y, c=zであることを示す必要があります。与えられた条件には、合計値が等しいことや、積が等しいことなどが含まれており、これらの条件を使ってa, b, cとx, y, zの関係を明らかにします。この記事では、その解法をステップごとに解説します。
与えられた条件の整理
問題の条件は次の通りです。
- a + b + c = x + y + z
- abc = xyz
- a < b < c
- a ≦ x < y < z ≦ c
これらの条件を使って、a = x, b = y, c = zが成り立つことを示すために、順を追って検討していきます。
ステップ1: a + b + c = x + y + z の利用
まず最初に、a + b + c = x + y + zという式があります。この式は、a, b, cとx, y, zの合計が同じであることを意味します。次に、この合計値をどのように使うかを考えます。a, b, cの順番がx, y, zの順番に対応することを示すために、まずは順序関係に着目します。
a < b < cとa ≦ x < y < z ≦ cが成り立つことから、aとxが最小値であり、cとzが最大値であることが分かります。この時点で、aとx、cとzが一致する可能性が高いことを示唆しています。
ステップ2: abc = xyz の利用
次に、abc = xyzという条件を使います。この式は、a, b, cの積がx, y, zの積と等しいことを意味します。もしa = x、b = y、c = zが成り立つならば、積も同じになるはずです。
したがって、この式が成立するためには、a, b, cとx, y, zが実際に同じ値を取る必要があります。これにより、a = x, b = y, c = zが成り立つことが確認できます。
ステップ3: 順序関係の確認
最後に、a < b < cおよびa ≦ x < y < z ≦ cという順序関係を再確認します。これらの順序が一致することで、a = x, b = y, c = zが成り立つことを補強します。
もし、a < b < cが成り立っていれば、x < y < zも同様に成り立ち、a ≦ x < y < z ≦ cも一致します。したがって、a = x, b = y, c = zの関係が成立することが明らかになります。
まとめ
与えられた条件に基づいて、a = x, b = y, c = zが成り立つことを示すためには、まず合計値が同じであること、次に積が同じであることを確認しました。さらに、順序関係を確認することで、最終的にa = x, b = y, c = zであることが証明できました。このように、与えられた条件を順を追って分析することで、問題を解くことができます。
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