判断推理問題：大きな立方体の着色された小立方体の個数比を求める方法

判断推理の問題で、立方体の問題はよく出題されます。今回は、64個の小立方体を積み上げてできた大きな立方体に関する問題です。大きな立方体の表面に着色が施され、小立方体がどのように分類されるかを求める問題です。問題を解くためのステップを解説していきます。

1. 問題の概要

問題では、1 cm³の小立方体64個を積み上げて大きな立方体を作り、その表面すべてに着色が施されています。小立方体は、次のように分類されます。

質問は、「無着色のものと3面着色したものの個数の比率を求めなさい」というものです。

まず、大きな立方体の構造を理解する必要があります。64個の小立方体を積み重ねて作った大きな立方体は、2×2×2の立方体になります。つまり、各辺の長さは4小立方体分の長さです。この立方体の各面に着色が施されるため、どの小立方体がどのように着色されるのかを見ていきましょう。

大きな立方体の各面には、最も外側の小立方体が3面着色され、次に内側の小立方体が2面着色され、さらにその内側の小立方体が1面着色されることになります。残りの小立方体は、内側に位置するため無着色になります。

大きな立方体の各面にある小立方体の数を数えると、次のようになります。

3面着色した小立方体は、各角に1つずつあります。大きな立方体の角は8つあり、これが3面着色された小立方体です。
2面着色した小立方体は、各辺の中央に位置している小立方体です。各辺に4つの小立方体があり、端の2つは角の小立方体です。したがって、1辺あたり2面着色した小立方体が2つ、これが12個存在します。
1面着色した小立方体は、大きな立方体の中央に位置するため、1面だけが着色されます。これらは各面に16個ずつあり、合計で6面×16個で96個です。