直線の方程式と円の交点に関する問題の解法

この問題は、直線と円の接線、また円の交点に関する計算問題です。具体的には、(3,6)を通り、円に接する直線を求める問題と、2つの円の交点を求め、3点を通る円の中心と半径を求める問題です。それぞれの問題を解くために必要なステップを順を追って解説します。

① (3,6)を通り、(x-1)² + (y-2)² = 4 に接する直線の方程式を求める

まず、円の方程式 (x-1)² + (y-2)² = 4 について考えます。この円の中心は (1, 2) で、半径は 2 です。この円に接する直線の方程式を求めるためには、接線の方程式を求める必要があります。

接線の方程式を求めるために、まず直線の方程式を y = mx + b の形に仮定し、この直線が円に接する条件を満たすようにします。円の中心 (1, 2) から直線までの距離が半径と等しい条件を利用して、接線を求めることができます。

次に、2つの円 (x-2)² + (y-2)² = 5 と x² + (y+1)² = 2 の交点を求めます。この問題は、2つの円の交点を求める典型的な方法で解きます。交点は2つの円の方程式を連立させることで求められます。

まず、1つ目の円 (x-2)² + (y-2)² = 5 を展開し、2つ目の円 x² + (y+1)² = 2 を展開して、それぞれの式を連立させます。連立方程式を解くことで、交点 P と Q の座標を求めることができます。

3点 P と Q と R(1,2) を通る円の中心と半径を求める問題です。円の方程式は一般的に (x-h)² + (y-k)² = r² の形になりますが、この問題では P と Q の座標を代入して、円の方程式を求めます。

3点を通る円の方程式を求めるために、3点の座標を用いて円の方程式に関する連立方程式を解く必要があります。具体的には、3つの点を通る円を求めるための公式を使い、円の中心 (h, k) と半径 r を求めます。

この問題では、直線の接線の方程式を求める方法、円の交点を求める方法、3点を通る円の方程式を求める方法を学びました。それぞれのステップを正確に踏むことで、解法に至ることができます。円の接線や交点、3点を通る円の中心と半径を求める問題は、数学の基本的な理解を深める良い練習になります。