方程式a•2^a – 1 = b(b+1)を満たす(a, b)の組を求める方法

この問題では、方程式 a•2^a – 1 = b(b+1) を満たす正の整数 a と b の組を求めることが求められています。特に、数学的帰納法を使って解けるかどうかという点についても考察していきます。この記事では、この問題を解くための手順をわかりやすく解説します。

方程式の確認と整理

まず、与えられた方程式 a•2^a – 1 = b(b+1) を整理しましょう。左辺は a•2^a – 1 で、右辺は b(b+1) です。この方程式は、a と b の間に特定の関係があることを示唆していますが、直接的な解法には少し工夫が必要です。

左辺の a•2^a は指数関数的に増加するため、a が大きくなると急速に大きくなります。一方、右辺の b(b+1) は2次関数的に増加します。このことから、a の値が小さいうちに解がある可能性が高いと予想できます。

試しにいくつかの値を代入してみる

この種の問題では、試しにいくつかの値を代入してみる方法が有効です。まずは、a の値を小さくして、方程式が成立するかどうか確認してみましょう。

例えば、a = 1 のとき。

a•2^a – 1 = 1•2^1 – 1 = 2 – 1 = 1

右辺 b(b+1) = 1 となるような b の値は、b = 0 または b = 1 です。この場合、b = 1 です。

次に、a = 2 のとき。

a•2^a – 1 = 2•2^2 – 1 = 8 – 1 = 7

右辺 b(b+1) = 7 となるような b の値は、b = 2 です。

さらに、a = 3 のとき。

a•2^a – 1 = 3•2^3 – 1 = 24 – 1 = 23

右辺 b(b+1) = 23 となるような b の値は、b = 4 です。

以上のように、a の値が小さい範囲では解が見つかりますが、a の値が大きくなるにつれて、右辺と一致する b の値は存在しなくなります。

解法の確定と数学的帰納法の適用

上記の試行錯誤から、a の値が小さい場合において解が求まることが分かります。しかし、数学的帰納法を使うためには、この問題に適用できる帰納的なステップを示す必要があります。具体的には、a の値がある数まで成立する場合に、それより大きな数でも成立することを証明しなければなりません。

しかし、この方程式の場合、試しにいくつかの値を代入した結果から、a の値が大きくなるにつれて解が存在しないことがわかるため、帰納法を使って証明するよりも、手計算での実験的なアプローチの方が効率的です。

まとめ

方程式 a•2^a – 1 = b(b+1) を満たす (a, b) の組を求める問題では、まずaの値を小さくしていくつかの値を試すことで、解を求めることができます。試行錯誤の結果、a = 1, 2, 3 のときにそれぞれ対応する b の値が求まり、a の値が大きくなるにつれて解が存在しなくなることが確認できました。数学的帰納法はこの場合、必要な証明に適用するのが難しいため、試しに代入する方法が有効な解法となります。