この問題は、代数の基本的な展開に関する問題です。与えられた式 (x + y + z)³ (y + z – x)³ – (z + x – y)³ – (x + y – z)³ を展開する方法をステップバイステップで解説します。
問題の整理
与えられた式は、三つの立方体の積と引き算から成り立っています。最初に、各項を分解して展開し、それらを組み合わせる必要があります。このような式の展開は、分配法則や立方体の展開公式を利用して行います。
式は以下のようになります:
(x + y + z)³ * (y + z – x)³ – (z + x – y)³ – (x + y – z)³
立方体の展開公式
立方体の展開公式は以下のようになります。
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc
この公式を使うと、各項の立方体を展開することができます。
それぞれの項の展開
まず、(x + y + z)³を展開してみましょう。
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3x²z + 3xz² + 3y²z + 3yz² + 6xyz
次に、(y + z – x)³を展開します。
(y + z – x)³ = y³ + z³ + (-x)³ + 3y²z + 3yz² – 3x²y – 3xy² – 3x²z – 3xz² + 3yzx
同様に、(z + x – y)³も展開します。
(z + x – y)³ = z³ + x³ + (-y)³ + 3z²x + 3zx² – 3y²z – 3yz² – 3x²y – 3xy² + 3zxy
最終的な式を整理する
すべての項を展開した後、それぞれの項をまとめていきます。展開された項同士を組み合わせ、計算を行います。この時、同じ項が現れた場合はそれらをまとめて簡略化します。
最終的には、問題に与えられた式を完全に展開し、簡潔な形にまとめることができます。
まとめ
この問題では、三項の立方体の展開公式を適用し、それぞれの項を展開して整理することで解決することができます。計算を丁寧に進め、すべての項を順番に展開していくことが重要です。
このような展開問題では、代数の基本をしっかりと理解し、公式をうまく活用することが大切です。手順を踏んで解くことで、問題を効率的に解決できます。
コメント