建築環境工学の大学院入試問題で「太陽輝度L(cd/m²)を求める式」を導出する問題があります。この問題に関して、いくつかの候補式が出されましたが、どの式が正しいのか、その理由とともに解説します。
問題の理解：太陽輝度と法線照度
問題で求められているのは、太陽の輝度L(cd/m²)です。ここで、E(lx)は法線照度を意味し、視角θ（θは太陽の視角）に基づいて太陽輝度Lを求める必要があります。法線照度Eは、光源の明るさが垂直に照射されたときの照度を示し、太陽の輝度Lは、単位面積あたりの光源の明るさを表します。
太陽の輝度は均一であり、その視角をθとして、次に進んで式を導出します。
加法混色と減法混色の違い
太陽光がある面に垂直に照射されるときの法線照度Eと、太陽輝度Lの関係を求めるためには、まず基本的な照度の関係を理解する必要があります。法線照度Eは、視角θを考慮に入れた輝度の積分値として定義できます。次に、視角θによる効果を考えます。
太陽輝度は、視角によって減少し、照度Eと輝度Lを関連付けるためには、次の式が使用されます。
太陽輝度Lを求める式
太陽輝度Lは次のように求めることができます。
L = E / (π cosθ)
この式の導出は、太陽光が面に垂直に照射された際の照度Eから、視角θを考慮した輝度Lを計算する方法です。視角θが広がると、太陽光の強さは減少するため、cosθで割ることにより、視角による輝度の減少を補正します。
これが正しい式である理由は、太陽光の輝度は一定であり、視角によってその光の分布が異なるため、cosθによる補正が必要です。
他の候補式について
他に挙げられた候補式の中で、「L = E / π sin²θ」や「L = E cosθ / π」といった式は誤りです。これらは、太陽の輝度と照度の関係を適切に表していないか、視角に関する誤った補正を行っています。太陽光の分布と視角θの影響を正確に反映させるためには、cosθで割ることが適切です。
まとめ
太陽輝度L(cd/m²)を求める式は「L = E / (π cosθ)」が正しい式です。この式は、法線照度Eと視角θによる輝度の補正を適切に考慮したものです。視角が大きくなると、輝度が減少するため、cosθで割る補正が必要です。これにより、太陽光の明るさが適切に反映されます。
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