三角形ABCの三角比の問題を解く方法:b=2, c=√2, c=30°の場合

数学

数学1の三角比に関する問題では、三角形の辺の長さや角度を用いて、未知の辺や角度を求めることが求められます。この問題では、三角形ABCにおいて、b=2、c=√2、c=30°の条件が与えられ、a、A、Bを求める問題です。この記事では、解法のステップを解説し、求める値を導きます。

問題の理解と必要な公式

まず、与えられた情報を整理しましょう。三角形ABCにおいて、b=2、c=√2、角C=30°です。このような三角形を解くために必要な公式は、三角比に基づく正弦定理や余弦定理です。

正弦定理は、a/sinA = b/sinB = c/sinCという関係式です。また、余弦定理は、a² = b² + c² – 2bc * cosAという関係式で、三辺と角度が関係しています。これらを活用することで、a、A、Bを求めることができます。

余弦定理を使用してaを求める

まず、余弦定理を使って辺aを求めます。余弦定理の式を用いると、a² = b² + c² – 2bc * cosCとなります。ここで、b = 2、c = √2、角C = 30°を代入して計算します。

計算式は次の通りです:
a² = 2² + (√2)² – 2 * 2 * √2 * cos30°
a² = 4 + 2 – 2 * 2 * √2 * (√3/2)
a² = 6 – 2√6
a = √(6 – 2√6)

正弦定理を使用して角Aと角Bを求める

次に、正弦定理を使って角Aと角Bを求めます。正弦定理の式a/sinA = c/sinCを使い、角Aを求めることができます。

まず、a/sinA = c/sinCの式を使い、sinAを求めます。ここで、aの値は先ほど計算した値を使用し、c = √2、角C = 30°を代入します。

sinA = (a * sinC) / cとなり、aの値を代入すると角Aを求めることができます。角Bは、角Aと角Cの和が180°であることから、角Bを計算できます。

まとめ:三角比を使った解法のステップ

この問題では、余弦定理を用いて辺aを求め、正弦定理を使って角Aと角Bを求める方法を解説しました。計算を進めることで、三角形の辺や角を求めることができます。三角比に関する問題では、公式を正しく適用し、計算を丁寧に進めることが大切です。

今回の問題は、三角比を使った基本的な問題ですが、余弦定理と正弦定理をうまく使うことで、複雑に思える問題も解くことができます。引き続き、これらの定理をしっかりと学び、他の問題にも応用できるようにしましょう。

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