行列の逆行列は、通常、正方行列に対して定義されるものですが、非正方行列の場合でも逆行列に相当する計算を行うことができます。特に、与えられた行列の式を解くためには「擬似逆行列」や「左逆行列」などの概念を使用します。この記事では、非正方行列における逆行列の計算方法を解説し、具体的な例を挙げてその使い方を説明します。
非正方行列と逆行列の関係
まず、正方行列でない行列Aにおける逆行列の概念について理解する必要があります。正方行列の逆行列は、行列Aとその逆行列A-1を掛け算した結果、単位行列Iになる行列です。
しかし、非正方行列の場合、行列A（例えば、n×mの行列）に対して、直接的な逆行列は存在しません。そのため、代わりに「擬似逆行列」や「左逆行列」、「右逆行列」を使用します。
左逆行列と右逆行列
非正方行列に対して逆行列のようなものを求めるために、左逆行列や右逆行列を使うことができます。左逆行列は、行列Aを左から掛けることで、単位行列に近い結果を得る行列です。
右逆行列は、行列Aを右から掛けることで、同様に単位行列に近い結果を得る行列です。これらを使って、AB=Zのような式でBを求める際に利用できます。
擬似逆行列の利用
非正方行列の逆行列に相当するものとして「擬似逆行列」があります。特に、最小二乗法や信号処理、機械学習のアルゴリズムでよく使われます。擬似逆行列は、通常、行列Aがフルランク（行と列が線形独立）であるときに使用されます。
擬似逆行列は、行列の「逆行列に近い」性質を持ち、通常はMoore-Penrose逆行列を計算する方法が一般的です。これは、行列が正方行列でなくても、最も適切な「逆行列」を求める方法です。
例題：AB=Z の場合
質問のように、AB=Z という式でAとZが与えられているとき、Bを求める方法は、行列の左逆行列を使うことで解決できます。もしAが非正方行列の場合、Aの左逆行列（または右逆行列）を使って、次のように計算します。
B = A-1Z という形でBを求めることができます。ここでA-1はAの擬似逆行列であり、この計算を実行することでBの値を求めることができます。
まとめ
非正方行列の逆行列を求める際には、擬似逆行列や左逆行列、右逆行列などの概念を用います。これらの方法を使って、与えられた行列式から解を導くことができます。特に、最小二乗法や機械学習で使われる擬似逆行列は非常に有用であり、実際の問題で広く利用されています。
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