数学や幾何学における「沈み込み」や「ベクトル束」の概念は、特に多様体の理論に関連する非常に深い内容です。この記事では、問題に出てきた用語や記号、そしてその使い方について解説します。
沈み込みとベクトル束の基本的な理解
まず、「沈み込み」とは、ある多様体Mが、より高次の多様体Nに対して滑らかに埋め込まれている場合を指します。ここで言う「埋め込み」とは、関数g:M→NがC^r級（r階微分可能）であり、gはMの各点において接空間も保持したままNに沈み込むことを意味します。
また、「ベクトル束」とは、空間上の各点にベクトル空間を割り当てるものです。多様体における接ベクトル束は、その点における接空間を表し、これを束の形で構成することで、座標が変わるたびに接空間がどう変化するかを追うことができます。
問題の記号とその意味
質問の中で出てきた「TM^(g)」は、M上の接ベクトル束の部分束であり、「g*TN」はN上の接ベクトル束TNをMに引き戻したものを示します。
この部分で出てきた「丸の中に＋」の記号ですが、これは直和を示しています。直和は、二つのベクトル空間が独立である場合に、それらを合わせた新しいベクトル空間を作る操作です。この場合、g*TNとTM^(g)の間に直和が取られ、これらが同型であることを示しています。
沈み込みとベクトル束の同型の証明
問題(ⅰ)では、TM^(g)がMの接ベクトル束TMの部分ベクトル束であり、TM^(g)がg*TNと同型であることを示さなければなりません。gが沈み込みであるため、g*TNはM上に引き戻された接ベクトル束であり、gによってベクトル空間の構造が一致するため、同型であることが証明できます。
コンパクト性とその影響
問題(ⅱ)では、Mがコンパクトな場合に、各点x∈Mに対するg^-1(g(x))の変化を考察します。コンパクト性により、g^-1(g(x))の変化が有限個であり、その個数はyに依存せず一定であることが示されます。これは、Mがコンパクトであれば、f^-1(y)が常に有限個であり、かつその個数がyによらないことを意味します。
まとめ
多様体上の沈み込みやベクトル束の理論は、幾何学やトポロジーにおいて非常に重要な概念です。沈み込みが成り立つことで、ベクトル束が同型であることが示され、さらにMがコンパクトな場合の挙動についても明らかにすることができます。これらの理論をしっかりと理解することで、幾何学的な問題解決において強力なツールを手に入れることができます。
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