距離空間の開集合が満たすべき性質O1, O2, O3の証明方法

距離空間(X, d)における開集合が特定の性質O1, O2, O3を満たすことを示す問題に取り組んでいる方のために、ここではそれぞれの性質の証明方法について解説します。まずは、開集合の定義を確認し、次に性質O1、O2、O3を順を追って理解していきましょう。

距離空間と開集合の定義

距離空間(X, d)とは、集合Xとその上に定義された距離関数dによって構成される空間です。距離関数dは、任意の2点x, yに対して、d(x, y)が非負で対称的かつ三角不等式を満たすことが求められます。開集合は、集合Xの部分集合であり、各点が集合内に含まれる開球の内部に存在するものです。

性質O1は、距離空間における開集合が任意の点についてその周りに小さな「空間」を持つことを意味します。すなわち、開集合の各点にはその点を中心にした開球が存在し、その開球が集合に完全に含まれています。これは、開集合の定義から直接導かれる性質です。

性質O2は、2つの開集合の和が再び開集合になることを示します。任意の2つの開集合AとBがあれば、A ∪ Bは開集合であることを証明します。これは、AまたはBに含まれる任意の点が、それぞれの集合の定義から開球内に含まれるため、A ∪ Bでも同様に開球を含むことにより成立します。

性質O3は、任意の開集合の有限個の交わりも開集合であることを示します。例えば、開集合A, Bがあった場合、A ∩ Bも開集合であることを示します。これも同様に、AやBのそれぞれの点について、交点内にも開球が存在することから、交わりもまた開集合であると証明できます。

距離空間における開集合が満たす性質O1, O2, O3の証明は、開集合の定義を基にした論理的なステップで進められます。各性質は集合の基本的な性質に起因しており、これらを理解することで、さらに高度な数学的な理論を学ぶための基礎が固まります。