(x+2y+3)(x²+4y²-2xy-3x-6y+9)の展開方法

高校数学

数学の式展開にはさまざまな方法がありますが、ここでは特にたすきがけの方法を使用して、問題を解く手順を示します。問題は、(x+2y+3)(x²+4y²-2xy-3x-6y+9)の展開です。

1. 展開の基本

まず、この式は二項式の掛け算です。一般的に、(a+b)(c+d)の形を展開する際には、まず最初の項をすべて掛け、次に二番目の項をすべて掛けるという方法を取ります。

今回は( x + 2y + 3 )という三項式と( x² + 4y² – 2xy – 3x – 6y + 9 )という六項式を掛けるので、個々の項同士を掛け合わせていきます。

2. 展開手順

それでは、実際に展開を進めます。最初の三項式をx、2y、3として、それぞれの項を六項式の各項に掛けていきます。

1. xを( x² + 4y² – 2xy – 3x – 6y + 9 )に掛ける
x × x² = x³
x × 4y² = 4xy²
x × (-2xy) = -2x²y
x × (-3x) = -3x²
x × (-6y) = -6xy
x × 9 = 9x

2. 2yを( x² + 4y² – 2xy – 3x – 6y + 9 )に掛ける
2y × x² = 2x²y
2y × 4y² = 8y³
2y × (-2xy) = -4xy²
2y × (-3x) = -6xy
2y × (-6y) = -12y²
2y × 9 = 18y

3. 3を( x² + 4y² – 2xy – 3x – 6y + 9 )に掛ける
3 × x² = 3x²
3 × 4y² = 12y²
3 × (-2xy) = -6xy
3 × (-3x) = -9x
3 × (-6y) = -18y
3 × 9 = 27

3. 結果のまとめ

すべての項を展開して合計すると、次のようになります。

x³ + 4xy² – 2x²y – 3x² – 6xy + 9x + 2x²y + 8y³ – 4xy² – 6xy – 12y² + 18y + 3x² + 12y² – 6xy – 9x – 18y + 27

同じ項をまとめて整理します。

x³ + (4xy² – 4xy²) + (-2x²y + 2x²y) + (-3x² + 3x²) + (-6xy – 6xy – 6xy) + (9x – 9x) + (8y³ – 12y² + 12y²) + (18y) + 27

これを整理すると。

x³ – 18xy + 8y³ + 27

4. まとめ

このように、(x + 2y + 3)(x² + 4y² – 2xy – 3x – 6y + 9)の展開を行うことで、x³ – 18xy + 8y³ + 27という結果を得ることができます。たすきがけの方法は、項ごとに掛け算を行い、それらを整理することで簡単に展開を進めることができます。

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