積分順序の入れ替えの理由について

積分順序を入れ替えることができる理由について、以下に解説します。特に、積分順序を交換しても元の値が成り立つ条件として、関数が連続していて積分が収束することが重要です。今回は、具体的な積分式を使ってその理由を明確にします。

積分順序の入れ替えの基礎

まず、積分順序を入れ替える理由は、Fubiniの定理（またはTonelliの定理）に基づいています。これらの定理は、二重積分や多重積分で積分順序を入れ替えることを許可する条件を提供します。具体的には、関数が非負であるか、絶対収束する場合に順序を交換できます。

与えられた問題では、次の積分式が示されています。

∫[0,∞) dx ∫[0,∞) e^{-xt^2} cos x dt = ∫[0,∞) dt ∫[0,∞) e^{-t^2x} cos x dx

この式において、積分順序を交換する理由は、積分の対象となる関数が十分に条件を満たしているためです。具体的には、関数 e^{-xt^2} cos x は非負または絶対収束するため、積分順序を変えても積分の結果は同じになります。

また、このように順序を入れ替えることで、計算が簡単になったり、積分の解析がしやすくなる場合があります。

したがって、積分順序を入れ替えるための前提条件が満たされていれば、この式のように順序を変更することが可能です。このようなテクニックは、積分計算を効率化するためにしばしば使用されます。