数学の問題では、与えられた方程式が異なる実数解を持つための条件を求めることがよくあります。今回は、方程式x^3 – x^2 – kx + 1 = 0が異なる3つの実数解を持つための定数kの範囲を求める問題を解説します。
問題の整理
与えられた方程式は次の通りです。
x^3 – x^2 – kx + 1 = 0
この方程式が異なる3つの実数解を持つための条件を求めます。まず、方程式を解くために必要な情報やテクニックを整理します。
解の存在条件
方程式が異なる実数解を持つためには、方程式のグラフがx軸と3回交わる必要があります。つまり、グラフがx軸に3回接するためには、関数の導関数が0になる点での変化を調べる必要があります。これにより、極値が2つ存在し、その間でx軸と交差することが分かります。
この方程式の導関数を求めると。
f'(x) = 3x^2 – 2x – k
この導関数f'(x)が0となるxを求めることで、極値を求めることができます。
導関数からkの範囲を求める
導関数f'(x) = 3x^2 – 2x – k = 0の解が2つ異なる実数解を持つためには、判別式が0より大きいことが条件です。判別式Dは次のように計算できます。
D = (-2)^2 – 4 × 3 × (-k) = 4 + 12k
判別式Dが正となるためには、
4 + 12k > 0
これを解くと。
k > -1/3
したがって、kの範囲はk > -1/3です。
まとめ
方程式x^3 – x^2 – kx + 1 = 0が異なる3つの実数解を持つための条件は、定数kが-1/3より大きいことです。具体的には、k > -1/3となる範囲で、この方程式は異なる3つの実数解を持つことが確認できます。
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