領域Dの面積の求め方について

この問題では、与えられた領域Dの面積を求める方法について解説します。領域Dは、極座標系における定義が与えられています。具体的には、r = 0 から r = a + bcos(nθ) までの範囲で、θ は 0 から 2π までの範囲です。

問題設定の確認

問題に示された領域Dの定義は、次のような極座標での範囲です。

D := {0 ≦ r ≦ a + bcos(nθ), 0 ≦ θ ≦ 2π}, a > b > 0

この領域の面積を求めるためには、極座標系での面積の公式を使うことができます。

極座標系での面積は、以下の式で求められます。

A = ∫[0, 2π] ∫[0, a + bcos(nθ)] r dr dθ

ここで、r は半径、θ は角度を表します。この式に基づいて、内積分と外積分を順に行います。

まず、内積分を計算します。

∫[0, a + bcos(nθ)] r dr = (1/2) * (a + bcos(nθ))²

次に、外積分を行います。

A = ∫[0, 2π] (1/2) * (a + bcos(nθ))² dθ

ここで、積分を解くためには cos(nθ) の展開を利用します。この計算は、具体的なnの値に依存しますが、一般的に積分を行うと、最終的に面積が求まります。

このようにして、与えられた範囲の積分を順に行うことで、領域Dの面積を求めることができます。n の値が変わると、cos(nθ) の振動が変わり、面積の計算に影響を与えるため、具体的なnに応じた計算が必要となります。