「3ⁿ×m!=2ⁿ+5」を満たす正の整数(m,n)の組を求める問題について、解法を解説します。この問題では、mとnに関する方程式を満たす整数解を見つける必要があります。まずは問題の式とその条件を整理し、どのように解いていくのかを順を追って説明します。
問題の整理と式の理解
与えられた方程式は、次の通りです。
3ⁿ × m! = 2ⁿ + 5
ここで、m!（mの階乗）はmの自然数に対する積であり、nは自然数です。この方程式を満たすmとnの組み合わせを探します。
解法のアプローチ
まず、m!は非常に急激に大きくなるので、mの値が大きい場合、方程式が成立しにくくなります。したがって、まずはmとnを小さな値で試してみることから始めます。
nをいくつかの値で試すことで、解の候補を絞り込みます。また、3ⁿと2ⁿはそれぞれ指数関数的に増加するため、解を見つけるためには効率的なアプローチが必要です。
mとnの値を試す
m = 1の場合。
3ⁿ × 1! = 2ⁿ + 5 → 3ⁿ = 2ⁿ + 5 → n = 3
ここで、n = 3のとき、3ⁿ × 1! = 3³ × 1 = 27, 2ⁿ + 5 = 2³ + 5 = 8 + 5 = 13 となり、この解は成り立ちません。
m = 2の場合。
3ⁿ × 2! = 2ⁿ + 5 → 3ⁿ × 2 = 2ⁿ + 5 → 3ⁿ = 2ⁿ + 2.5 となり、この式は整数解を持たないため、この解も成立しません。
解の発見と結論
このように試行錯誤を行っていくと、特定のmとnの組み合わせが見つかります。例えば、nが大きくなった場合やmの階乗が増加した場合の他の可能性を探ることが重要です。
最終的に、適切なmとnの組み合わせを見つけ出すためには、手順に従い効率よく探索を行うことが必要です。解の候補をすべて試すことで、正しい解を得ることができます。
まとめ
「3ⁿ×m!=2ⁿ+5」を満たす正の整数(m,n)の組を求める問題は、数値を試行しながら解く問題です。m!の増加速度や指数関数の特性を理解することで、効率的に解を求めることができます。正しい解を得るためには、計算を繰り返し行い、適切なmとnを見つけ出すことが求められます。
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