フーリエ級数の求め方：f(x)=1/(2+cos(x))のフーリエ級数をz=e^(ix)で求める方法

関数 f(x) = 1/(2 + cos(x)) のフーリエ級数を求めるためには、z = e^(ix) という複素指数関数を使う方法があります。この記事では、その方法についてわかりやすく説明していきます。

フーリエ級数とは

フーリエ級数は、周期関数を三角関数の無限級数で表す方法です。関数 f(x) を周期 2π の範囲で定義された三角関数の線形結合として表すことができます。これにより、複雑な関数を単純な三角関数で近似することができます。

与えられた関数 f(x) = 1/(2 + cos(x)) は周期的であり、フーリエ級数展開を行うのに適しています。z = e^(ix) を使うことで、cos(x) を複素指数関数の形に変換することができます。この変換により、積分や級数展開を簡単に扱うことができます。

まず、cos(x) を z = e^(ix) を用いて表現します。z とその逆 z^(-1) を使うと、cos(x) は次のように表せます。

cos(x) = (z + z^(-1)) / 2

この変換を使って、元の関数 f(x) を次のように書き換えることができます。

f(x) = 1 / (2 + (z + z^(-1)) / 2) = 1 / ((4 + z + z^(-1)) / 2)

次に、この式をフーリエ級数の形に展開するためには、z の冪級数を展開する必要があります。このステップでは、z の冪乗に関する積分を行い、各項の係数を求めます。具体的な計算には解析的な技法が必要ですが、最終的にフーリエ級数の係数が得られ、f(x) を三角関数の和として表現することができます。

f(x) = 1/(2 + cos(x)) のフーリエ級数を求めるためには、z = e^(ix) の変換を利用して cos(x) を複素指数関数に変換し、積分を使って級数を展開する方法が有効です。これにより、周期的な関数の解析をより簡単に行うことができます。