惑星の運動と面積速度の関係: 角速度から惑星までの距離を求める方法

惑星の運動を解析する際、惑星の長半径、離心率、周期が既知であれば、惑星の角速度θ'(t)を使って惑星までの距離r(t)を求めることができます。この記事では、面積速度kを一定とする式から、どのように惑星の位置を計算するのかを詳しく解説します。

惑星の運動における面積速度の定義

惑星の運動において、面積速度kは一定であると仮定することができます。この概念は、ケプラーの第2法則、すなわち「惑星は太陽に対して面積速度が一定である」という法則に基づいています。つまり、惑星が一定の時間内に掃く面積の速さが一定であることを意味します。

面積速度kは次の式で表されます。

(1/2) r(t)^2 θ'(t) = k

ここで、r(t)は惑星と太陽との距離、θ'(t)は惑星の角速度です。この式を使うことで、惑星の位置や速度に関する情報を得ることができます。

上記の式を用いると、惑星までの距離r(t)は次のように求めることができます。

r(t) = √(2k / θ'(t))

これは、角速度θ'(t)が与えられた時に、惑星と太陽との距離r(t)を計算する式です。この式により、角速度の変化に伴う惑星の位置を計算することが可能となります。

例えば、ある時刻tでの角速度θ'(t)が既知で、面積速度kが一定である場合、上記の式を使って惑星までの距離r(t)を計算できます。もしθ'(t)が0.5 rad/sで、面積速度kが10とすると、次のように計算されます。

r(t) = √(2 × 10 / 0.5) = √(20 / 0.5) = √40 ≈ 6.32

このように、角速度と面積速度を知っていれば、惑星までの距離を簡単に求めることができます。

惑星の角速度θ'(t)を観測すれば、面積速度kが一定であることから、惑星までの距離r(t)を求めることができます。式(1/2) r(t)^2 θ'(t) = kを用いることで、簡単に計算が可能です。これにより、惑星の位置を理解し、天文学的な観測に役立てることができます。