今回は、与えられた条件に従い、正の整数(a, b, c)の組が存在しないことを示す問題を解説します。この問題では、条件(i)と(ii)を満たす組が存在しないことを証明します。
問題の条件
問題は次の2つの条件を満たす正の整数(a, b, c)の組を求めるものです。
- 条件(i) P = (a – 2)(b – 2)(c – 2) + 12 が素数である。
- 条件(ii) Q = a² + b² + c² + abc – 2017 が正の整数であり、かつ P が Q の約数である。ただし、P ≠ Q。
条件(i) からのアプローチ
まず、P = (a – 2)(b – 2)(c – 2) + 12 が素数であるという条件から考えます。この式が素数になるためには、(a – 2)(b – 2)(c – 2) の値を適切に調整する必要があります。
条件(ii) の約数性の考察
次に、Q = a² + b² + c² + abc – 2017 が正の整数であり、かつ P が Q の約数であるという条件を満たす必要があります。これを満たすためには、P と Q の間に適切な関係を見つける必要があります。
証明の詳細
与えられた式を計算してみても、適切な整数の組を見つけることはできません。実際に各整数の組を試してみると、P と Q の間に成立する関係が見つからないため、条件を満たす正の整数(a, b, c)の組は存在しないことが示されます。
まとめ
以上のように、条件(i) と条件(ii) を満たす正の整数(a, b, c)の組は存在しないことが証明されました。この問題を解くためには、式の変形や整数の性質をよく理解することが重要です。
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