x^4+1の複素数における因数分解: πi/2から3πi/2への変化の理由

複素数の範囲での因数分解は、特に指数関数や虚数を扱う際に重要な技術です。x^4+1の因数分解で現れるπi/2と3πi/2の違いについて理解するために、複素数の性質と計算方法について解説します。

x^4+1の因数分解の手順

問題のx^4+1を因数分解する際、最初にx^4+1 = x^4 – (-1)と表現します。ここで、-1は複素指数関数の形で表現でき、-1 = e^(πi) となります。したがって、x^4+1は次のように書き換えられます。

x^4+1 = x^4 – e^(πi)

これをさらに因数分解すると、x^2 + e^(πi/2)とx^2 – e^(πi/2)に分けることができます。ここで、e^(πi/2)が登場し、次の式が得られます。

x^4 + 1 = {x^2 + e^(πi/2)}{x^2 – e^(πi/2)}

質問者が気になっているのは、2行目のπi/2が3行目で3πi/2に変わる理由です。この変化は、複素数の角度（偏角）の性質によるものです。

複素数の指数関数で、e^(iθ) は複素平面上で、θ（偏角）の角度に対応する位置を示します。特に、e^(iπ/2)は虚数軸上の+1の位置を示し、e^(3πi/2)は虚数軸上の-1の位置を示します。

複素数の指数関数における角度の計算は、複素数を極形式で表す際に重要です。x^4+1の場合、x^4の項が実数1と一致するため、-1をe^(πi)として表し、複素平面での回転を利用して因数分解します。

x^4 + 1 = x^4 – e^(πi)という式を基に、さらに因数分解を進めると、複素数の周期性により、e^(πi/2)とe^(3πi/2)という異なる角度が現れるのです。これが、3行目でπi/2が3πi/2に変化する理由です。

最終的に、x^4 + 1は次のように因数分解できます。

x^4 + 1 = {x^2 – e^(πi/2)}{x^2 – e^(3πi/2)}

これにより、x^4 + 1を複素数の範囲で因数分解することができ、πi/2と3πi/2の角度がどのように変化するのかが理解できます。

x^4 + 1を複素数の範囲で因数分解する際、πi/2と3πi/2の角度の変化は、複素数の指数関数における角度の性質によるものです。これらの変化は、複素数の極形式における周期性や回転に関連しており、因数分解の過程で重要な役割を果たします。