数列の隣接3項間漸化式は、特性方程式を使わずに階差数列を使って解くことが可能です。この方法を用いることで、漸化式を解く際により直感的に進めることができます。ここではその解法のステップを解説し、証明を示します。
1. 隣接3項間漸化式とは
隣接3項間漸化式は、一般的に次のように表されます。
y(n+3) = a * y(n+2) + b * y(n+1) + c * y(n) といった形です。ここで、y(n)はn番目の項、a, b, cは定数です。
2. 階差数列によるアプローチ
階差数列を使って解く方法では、漸化式を階差を取ることで解くことができます。まず、元の数列における各項の階差を計算し、その階差数列に基づいて解法を進めていきます。
具体的には、まず元の漸化式に基づき、y(n+3) – y(n+2), y(n+2) – y(n+1), y(n+1) – y(n)といった階差を取ります。そして、それらの階差を組み合わせて新たな漸化式を作り出し、これを解くことで元の数列の解を求めることができます。
3. 解法のステップ
以下は階差数列を使った解法の一例です。
- 元の漸化式を階差に分解します。
- 得られた階差数列に対して、再度同様に階差を取ります。
- 新たに得られた階差数列を解くことで、元の数列の解を求めます。
この方法を使うことで、特性方程式を用いずに漸化式を解くことができます。
4. 例題による解法の証明
例えば、漸化式 y(n+3) = 2 * y(n+2) + 3 * y(n+1) – y(n) の場合を考えます。まずは階差数列を求め、その後に新たな漸化式を得て、最終的に解を導きます。この手法を使えば、特性方程式を使わずに解を得ることができます。
5. まとめ
隣接3項間漸化式は、特性方程式を使わずに階差数列を使って解くことが可能です。この方法をマスターすることで、より直感的に漸化式を解くことができ、数学の理解が深まります。
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