直線と接線の問題: x² + y² = 8 の接線と直線 7x + y = 0 に垂直な直線の方程式を求める方法

「x² + y² = 8」の接線で、直線「7x + y = 0」に垂直な直線の方程式を求める問題を解説します。接点の座標を使って、垂直な直線の方程式を求める方法を理解しましょう。

問題の整理

与えられた問題は、円の方程式「x² + y² = 8」の接線と、直線「7x + y = 0」に垂直な直線の方程式を求めることです。まず、この問題の重要なポイントは、接点での接線と与えられた直線の関係を理解することです。

円「x² + y² = 8」の接線の方程式を求めるためには、接点での接線の傾きと垂直な直線の傾きを使います。接点の座標は、問題文に示された方程式を使って求めることができます。

まず、円の方程式「x² + y² = 8」について考えます。この円の中心は原点(0, 0)で、半径は√8です。この円の接線は、任意の接点で円に接する直線です。

次に、接線の方程式を求める方法です。円の接線の傾きは、接点の座標を使って計算できます。接点の座標(x, y)における接線の傾きは、円の微分を使って求めることができます。この微分から得られる傾きに基づいて、接線の方程式を導きます。

接線の方程式が求められたら、次にそれに垂直な直線の方程式を求めます。直線「7x + y = 0」の傾きを求め、その逆数を取ることで垂直な直線の傾きがわかります。

「7x + y = 0」をyについて解くと、y = -7xとなります。したがって、この直線の傾きは-7です。垂直な直線の傾きはこの傾きの逆数である1/7です。この傾きと接点の座標を使って、垂直な直線の方程式を求めることができます。

この問題は、円の接線と垂直な直線の方程式を求める問題です。接点の座標を使って接線の傾きを求め、さらにその傾きから垂直な直線の方程式を求めることができます。接点の座標を求める方法、接線の傾きを求める方法、垂直な直線の傾きを求める方法を理解することで、類似の問題も解けるようになります。