y” – y’ – 6y = 0 の一般解の求め方

2階の線形微分方程式「y” – y’ – 6y = 0」の一般解の求め方について解説します。この問題は、定数係数の線形微分方程式を解く典型的な方法に基づいています。ここでは、解法のステップを順を追って説明します。

1. 方程式の特徴と解法の概要

与えられた方程式は、定数係数の2階線形微分方程式です。定数係数の微分方程式は、特性方程式を解くことで一般解を得ることができます。特性方程式は、次のように変形できます。

y” – y’ – 6y = 0 を、r^2 – r – 6 = 0 として、rについて解きます。

2. 特性方程式の解法

特性方程式は、r^2 – r – 6 = 0 です。この2次方程式を解くために、解の公式を使います。解の公式は次のように表されます。

r = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a となります。ここで、a = 1, b = -1, c = -6です。

したがって、r = (1 ± √(1 + 24)) / 2 = (1 ± √25) / 2 = (1 ± 5) / 2 です。

これにより、r = 3 または r = -2 の2つの解が得られます。

3. 一般解の構成

特性方程式の解r = 3とr = -2を用いて、一般解を構成します。定数係数の線形微分方程式の場合、解は次のように表されます。

y(x) = C₁e^(3x) + C₂e^(-2x)

ここで、C₁とC₂は任意定数です。これが与えられた方程式の一般解となります。

4. 初期条件による解の決定

一般解が求まった後、特定の初期条件（例えば、y(0) = 0, y'(0) = 1 など）が与えられた場合、C₁とC₂を決定することができます。与えられた初期条件を代入し、連立方程式を解くことで定数を求めます。

5. まとめ

「y” – y’ – 6y = 0」という2階の線形微分方程式の一般解は、特性方程式を解くことで得られます。特性方程式の解r = 3, r = -2を用いて、一般解はy(x) = C₁e^(3x) + C₂e^(-2x)となります。初期条件が与えられた場合には、定数C₁およびC₂を決定することができます。