数学の不等式問題を解く方法：x²+y²≦2021 と y≧-x²-2x+2021 の解の数を求める

数学の問題でよく出題される不等式の問題に関して、今回は「x²+y²≦2021」と「y≧-x²-2x+2021」の2つの不等式を満たすxとyの組み合わせの数を求める問題を取り上げます。数学的な手法を使って、この問題をどのように解くのかを順を追って解説します。

不等式の理解と問題設定

問題は、二次不等式 x² + y² ≦ 2021 と y ≧ -x² – 2x + 2021 を同時に満たす解を求めるというものです。まず、この二つの不等式を理解することが解決への第一歩です。

1つ目の不等式「x² + y² ≦ 2021」は、xy平面上で半径√2021の円の内側を意味しています。つまり、この不等式を満たす点は、原点を中心にした円の内部または円上にあります。

次に、「y ≧ -x² – 2x + 2021」という不等式を見てみましょう。この不等式は、yが与えられた二次関数のグラフの上側にあることを意味します。このグラフは、x軸に対して下に凸の放物線となります。

したがって、この不等式を満たす解は、この放物線の上側の領域に位置する点です。この不等式のグラフと、1つ目の不等式で求められた円との交点を求めることが、問題を解く鍵となります。

まずは、これらの2つの領域が交わる範囲を求める必要があります。円の方程式と放物線の方程式を連立させて解く方法が考えられます。円の方程式はx² + y² = 2021ですが、ここに放物線の方程式を代入して連立させます。

計算を進めると、具体的な解が得られます。この交点におけるxとyの組み合わせが、問題の解となります。求める解の数は、xとyの値がどれだけ整数解として存在するかに依存します。

実際に解を求めてみましょう。xの値に対して、yがどのように変化するかを計算します。この計算を進めることで、xとyの組み合わせの数が明らかになります。

例えば、x = 0のとき、y² ≦ 2021 となり、yの値は±√2021以内であることがわかります。次に、y ≧ -x² – 2x + 2021 の不等式を考慮して、この範囲内でyが満たす条件を絞り込んでいきます。

計算を進めると、xの範囲とyの範囲が定まります。これにより、xとyの組み合わせの数が決まります。具体的な数値計算を行い、最終的に解の組み合わせ数を求めます。

この問題は、二次不等式を使って図形的に解を求める問題です。x² + y² ≦ 2021 の円と、y ≧ -x² – 2x + 2021 の放物線との交点を求めることによって、解の組み合わせ数を求めることができました。数学的な計算を進めることで、問題を解決できることがわかります。