この記事では、数式「xy + x + y = 1」が「(x + 1)(y + 1)」に変換される理由について、具体的なステップを踏んで解説します。数学の基本的な法則に基づいた簡単な変形に過ぎないこの式ですが、その背後に隠れた数学的なメカニズムを理解することで、数式の扱いに自信が持てるようになります。
問題の式を確認しよう
まずは問題の式「xy + x + y = 1」について確認しましょう。この式は、xとyに関する2変数の式であり、加法と乗法が組み合わさっています。これがどのようにして「(x + 1)(y + 1)」という形に変換できるのか、順を追って説明していきます。
式の展開と変形
まず、「(x + 1)(y + 1)」を展開します。展開とは、かけ算の式を足し算に変換する操作のことです。
(x + 1)(y + 1)を展開すると次のようになります。
(x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1
この展開結果を見てみましょう。xy + x + y + 1 という式が得られました。この式の右辺は元々の式「xy + x + y = 1」とほぼ一致しています。ただし、右辺には「1」が多く含まれていることに気付くでしょう。
元の式と新しい式の比較
次に、元の式「xy + x + y = 1」と、展開後の式「xy + x + y + 1」を比較してみましょう。
実は、元の式における右辺は「1」でしたが、展開後の式では「xy + x + y + 1」となり、両者が等式で成立するためには、展開後の式の右辺から「1」を引く必要があることが分かります。つまり、元の式と展開後の式は一致します。
数学的な観点からの確認
数学的には、式の変形を行うときに重要なのは、数式の変形がどのように保たれるかという点です。この式の場合、両辺に同じ数を加えることで等式は保たれるため、式が成立することが確認できます。
この変形の仕組みを理解することで、他の数式でも同様の手法を使って変形を行うことができ、より複雑な数式にも対応できるようになります。
まとめ
「xy + x + y = 1」が「(x + 1)(y + 1)」になる理由は、数式の展開によって得られる形がほぼ一致し、右辺の「1」を引くことで成り立つというシンプルな数学的事実に基づいています。このような数式の変形を理解することで、より効率的に数学問題を解くことができるようになります。
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