円の接線のベクトル方程式の証明方法

円Cの中心C(c↑)と半径rを持ち、円C上の点P₀(p₀↑)における接線のベクトル方程式を証明する方法について説明します。この問題は、円の幾何学的性質をベースに、ベクトルの演算を使って証明を行う問題です。

円の接線のベクトル方程式とは？

まず、円Cの定義を確認します。円Cは、中心C(c↑)から半径rだけの距離を持つ点Pからなる集合です。円C上の点P₀(p₀↑)における接線のベクトル方程式は、接線ベクトルと円の半径ベクトルが直交する性質を利用して求めることができます。

円C上の任意の点P(p↑)について、その中心C(c↑)からPへのベクトルをとします。また、点P₀(p₀↑)における接線は、ベクトルに直交するため、接線ベクトルは以下のように表されます。

接線ベクトルは、円の中心Cから点P₀に向かうベクトルに直交するため、ベクトルと接線ベクトルの内積は0になります。この条件を満たす接線の方程式は、次のように表されます：
(p₀↑ – c↑) ・ (p↑ – c↑) = r²

このように、円の接線のベクトル方程式を証明するためには、円の幾何学的性質を利用し、ベクトル演算を行うことが重要です。接線と半径ベクトルの直交性を使うことで、接線の方程式を求めることができます。