数学の問題でよく出題される「二次関数の最小値」ですが、特に文章問題や複雑な計算問題では、解き方に迷うことがあるかもしれません。この問題では、平方完成を用いた解法と、実際に最小値を求める過程を解説します。
問題の設定と式の変形
与えられた問題は次のような形です。
Q = (1 – log(x)) / x²
最小値を求めるためには、まずQをどのように変形するかがポイントです。一般的なアプローチでは、問題の式を平方完成して、最小値を求めます。具体的に、Q = (x – y + 2)² + y² + 2y + 2の形に変形した後、(x – y + 2)² + (y + 1)² + 1という式に変形します。
平方完成の方法
ここでは、式の平方完成を行い、最小値を求める方法を見ていきます。まず、次の式を考えます。
Q = (x – y + 2)² + (y + 1)² + 1
この式のように平方完成を行うことで、最小値を求めることができます。この形であれば、(x – y + 2)²や(y + 1)²が必ず0以上であるため、最小値はその合計が最小になるように選ばれます。
最小値の求め方
平方完成後、最小値を求めるためには次のように考えます。
1. (x – y + 2)² = 0 ならば x – y + 2 = 0 となり、x = y – 2
2. (y + 1)² = 0 ならば y + 1 = 0 となり、y = -1
これらを代入することで、最小値を求めることができます。
手間をかけずに解く方法
質問者が述べた方法、「y² + 2y + 2 を平方完成してyの最小値を出す」方法も、もちろん有効です。この方法で解く場合、次のように進めます。
y² + 2y + 2 = (y + 1)² + 1 となり、y = -1のとき最小値1が得られます。
この方法でも最小値を導けるのですが、手間が増える可能性があり、式をよりシンプルにする方法が望ましい場合もあります。
まとめ
最小値を求める過程では、平方完成が基本的な手法となります。式を簡単にしてから最小値を求めることで、計算ミスを減らし、効率的に問題を解くことができます。どちらのアプローチでも最終的には同じ結果が得られますが、シンプルでわかりやすい方法を選ぶことが重要です。
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