背理法における無理数の扱い：-2が有理数である理由の解説

背理法は、ある命題が成立しないことを証明するために、仮定と矛盾を引き起こす方法です。質問者が指摘する問題は、無理数を使って有理数との関係を示す際に、最終的に-2が有理数であると結論する部分に関するものです。今回は、その理由と背理法での無理数の扱いについて解説します。

1. 背理法の基本的な流れ

背理法を用いた証明の基本的な流れは、まず仮定が成立しないと仮定し、その結果矛盾が生じることで仮定が間違いであることを証明する方法です。例えば、無理数aが与えられて、その無理数に関する式で矛盾が生じる場合、その矛盾を証明します。

具体的には、aが無理数であることを仮定し、ある式を変形していきます。その過程で、他の無理数bが有理数であることを示すために、-2が有理数であると結論する部分に到達します。

無理数とは、整数の比として表現できない実数であり、有理数とは整数の比で表現できる数です。-2は整数であり、整数は必ず有理数として定義されます。したがって、背理法の過程で-2が有理数であると結論することは矛盾しません。

背理法では、ある式を変形して得られる結果が矛盾を引き起こす場合、その矛盾が仮定に基づいていることを示すため、-2を有理数として断定するのは正当です。

質問者が疑問に思っている点は、-2が有理数であることを「勝手に使って良いのか？」という点です。実際には、背理法で得られる式が有理数と無理数の関係に関して既知の数である場合、-2が有理数であることを自然に使用します。この点は、無理数aと有理数rの関係に基づいた演繹的な論理で正当化されます。

背理法の目的は、仮定から矛盾を導くことです。もし仮定に誤りがあれば、矛盾が生じ、その誤りが明らかになるため、このような結論が導かれるのは論理的に正しいです。

背理法を使用する際、無理数や有理数を扱う問題では、-2が有理数であることを疑問視する必要はありません。背理法では、既知の数の性質を利用して矛盾を証明することが重要です。このような計算や証明の流れを理解し、適切に数の性質を利用することが、問題解決の鍵となります。