x→∞のとき、(1−logx)/x²の極限をロピタルの定理なしで求める方法

数学の問題でよく見かける極限の計算ですが、ロピタルの定理を使わずに、(1−logx)/x² の極限を求める方法について解説します。x→∞のとき、具体的にどのように計算を進めていくべきなのか、詳細に見ていきましょう。

問題の設定とアプローチ

問題は、次の式の極限を求めることです。

lim(x→∞) (1 − log(x)) / x²

この式では、分子が「1 − log(x)」となっており、xが無限大に近づくとき、log(x)が無限大に増加します。一方で分母はx²と、xが大きくなるとともに急激に増加します。このように、無限大に対して分子と分母がどうなるかを理解することが重要です。

まず、ロピタルの定理を使わずに極限を求める方法を見てみましょう。

1. 分母はx²、分子はlog(x)の増加を抑えることに着目します。xが無限大に近づくと、log(x)は非常に遅く増加し、x²の増加速度にはかなわないことがわかります。

2. これを式に表すと、分子のlog(x)はx²に比べて小さいため、次第に分母が支配的になります。このため、式全体の極限は0に収束することが予測されます。

次に、分子と分母の関係を具体的に計算してみます。

分子の「1 − log(x)」は、xが大きくなるにつれてほぼlog(x)に支配されます。したがって、問題は実質的に次のように近似できます。

lim(x→∞) −log(x) / x²

ここで重要なのは、log(x)がx²に比べて遅く増加するため、分母のx²が分子のlog(x)を圧倒するということです。このため、この極限は0に収束します。

最終的に、x→∞のとき、(1−logx)/x² の極限は、ロピタルの定理を使わなくても、0に収束することがわかります。xが無限大に近づくと、分母のx²が分子のlog(x)を上回るため、全体として式の値は0に近づきます。