1階線形微分方程式における定数変化法の一般解と特殊解の違い

1階線形微分方程式における定数変化法について、特に「一般解」と「特殊解」の定義に関する混乱が生じることがあります。今回の質問では、ヨビノリさんの動画では「一般解 = 同次方程式の一般解 + 特殊解」と説明されていた一方、手元の教科書では「特殊解が一般解」と記載されている点について解説します。これに関する違いとその理由を理解するために、定数変化法の基本的な考え方を振り返りましょう。

定数変化法の基本的なアイデア

定数変化法は、非同次1階線形微分方程式を解く際に使われる方法で、まず同次方程式の解を求め、それに特殊解を加えるという方法です。このアプローチは、解を構築する際に非常に便利です。

1階線形微分方程式の標準的な形は以下のように書かれます。

dy/dx + P(x)y = Q(x)

ここで、P(x)とQ(x)はxの関数です。同じ形式の同次方程式< i>dy/dx + P(x)y = 0を解くと、同次方程式の解を得ることができます。次に、定数変化法を適用して、非同次方程式の解を求めます。

一般解と特殊解の役割

1階線形微分方程式における「一般解」とは、同次方程式の解（一般解）に特殊解を加えたものです。具体的には、同次方程式の一般解を< i>y_h = Cexp(∫P(x)dx)として、そこに非同次方程式の特殊解を加えます。したがって、y = y_h + y_pという形になります。ここで、y_hが同次方程式の一般解であり、y_pが非同次方程式の特殊解です。

したがって、定数変化法において「特殊解」は、非同次方程式に特有の項を含む解です。教科書における「特殊解が一般解」という表現は、おそらくこの特定の状況における用語の使い方に関係していると思われます。

混乱の原因と用語の違い

おそらく、質問者が触れた教科書における表現「特殊解が一般解」とは、非同次方程式を解く際に特殊解を加えた解のことを指している可能性があります。ここで使われる「一般解」は、厳密には同次方程式の一般解を意味するものではなく、同次方程式の解と特殊解を合わせた解を指すことがあります。このため、「一般解」という用語が誤解を生む場合があります。

一般的には、同次方程式の一般解を求め、その後に非同次方程式の特殊解を求めて、最終的な解を得るという手順を踏みます。この過程を通じて、解の全体像を捉えることができます。

まとめ

定数変化法における「一般解」と「特殊解」の関係は、同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解を組み合わせる方法です。質問者が触れた教科書の表現は、非同次方程式の解としての「特殊解」を指している可能性が高いです。したがって、用語の違いに混乱が生じたかもしれませんが、定数変化法ではまず同次方程式を解き、次に特殊解を加えることで最終的な解を得ることができます。