なぜ y = f(x – p) + q になるのか？平行移動の直感的理解

数学で関数のグラフを平行移動させる場合、x軸やy軸に沿った移動が直感的に理解しやすいものの、関数y = f(x – p) + q という形式における移動がなぜそうなるのかは、少し理解しづらいかもしれません。この疑問に対して、今回は感覚的な理解を深める方法を解説します。

1. x軸とy軸の平行移動の基本

まず、基本的な平行移動を理解しましょう。座標平面上で点(a, b)がx軸にp、y軸にqだけ平行移動すると、新しい位置は(a + p, b + q) となります。これは直感的に理解しやすいです。

具体的に言うと、x軸にpだけ移動することで、x座標はaからa + pに変化し、y軸にqだけ移動することで、y座標はbからb + qに変わります。

2. 関数の平行移動

次に関数の平行移動を考えます。関数y = f(x)のグラフがあるとき、これをx軸やy軸に沿って平行移動する場合、グラフがどのように変化するかを理解することが重要です。

まず、y = f(x – p)の形を見てみましょう。これは、xの変数をpだけ移動させることを意味します。x軸にpだけ移動すると、xの値がpだけ増加したことになります。例えば、もともとx = 0でy = f(0)だった点は、x = pでy = f(p)という新しい点になります。これにより、グラフは右方向にpだけ平行移動します。

3. y軸方向の移動

次に、y = f(x – p) + q という式におけるy軸方向の移動について考えます。qを加えることで、関数の全体がy軸に沿って上下に移動します。

具体的に言うと、y = f(x – p) のグラフができた後、それをy軸方向にqだけ移動させると、すべてのy座標がqだけ増加または減少します。例えば、元の点がy = f(x – p)であったとき、新しい点ではy = f(x – p) + qとなり、グラフ全体が上方向または下方向に移動することになります。

4. 結果としての移動

このように、y = f(x – p) + q という関数において、xの変数をpだけ移動させ、y軸にqだけ移動させることで、グラフ全体が平行移動します。直感的には、x軸方向にp、y軸方向にqだけ移動するという操作が行われていることがわかります。

5. まとめ

関数y = f(x – p) + qの平行移動は、x軸とy軸にそれぞれpとqだけ移動させることで実現されます。x – pの部分がx軸方向の移動を、+qの部分がy軸方向の移動を表しており、これにより関数のグラフ全体が平行に移動することになります。